引子

上过舒幼生老爷子课的同学应该都会对下面这道概率题印象深刻

舒老师给的标准解法是利用递归：

将所求概率记为\(P\).

猫第一步以\(\frac{1}{2}\)概率左行捉到鼠，对\(P\)的贡献为\(\frac{1}{2}\).

猫第一步以\(\frac{1}{2}\)概率右行，到达\(x=2\)位置。为捉住鼠，猫首先必须左行到\(\frac{1}{2}\)位置，这与开局时要求猫从\(x=1\)位置左行到\(x=0\)位置捉到鼠的情况相同，概率同构也为\(P\)。到达\(x=1\)位置后，游戏又回到初态，猫左行到\(x=0\)位置捉到鼠的概率仍为\(P\)。据此，猫第一步到达\(x=2\)位置，接着也能捉到鼠，对\(P\)的贡献为\(\frac{1}{2}PP\)。

综上所述，可得

\[P=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}PP\]

即可解出\(P=1\)

很直接的一个推广就是，假定机器猫向左和向右一步的概率分别为\(q\)和\(1-q\)，问此时是否还一定能抓到老鼠？

我们同样列出等式：

\[P = q + (1-q)P^2\]

不幸的是，这个二次方程有两个根：\(P = 1, q/(1-q)\)

当\(q \ge 1/2\)时，我们知道猫肯定能抓到老鼠，但是对于其他情况呢？到底是有一定的非零概率还是必然能？递归方法遇到了困难。

当然你可以谈\(q=0\)处的情况以及物理问题应有的连续性，我也可以反问\(q=1/2\)时连续性到哪去了。事实上，这种递归方法，类似于对一个连收敛性都未知的无穷级数做种种操作，期望最终能得到结果，而数学，显然不允许你这样瞎搞。
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